今回は立体図形の切断(立方体)についてです。
生徒A君切断は苦手です…
切り口がイメージできないんだよなぁ～
さば先生実はイメージはあまり必要じゃないんだよ！切断のルール3つをしっかり覚えれば誰にでもできるようになるよ！
立体図形の切断はかつては最難関の男子校でしか出題されませんでした。
しかし、最近の入試では女子校や中堅校でも多く見かけます。
立体の切断と聞くだけで毛嫌いをする方もいますが、分かると楽しいですよ！
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この記事を書いた人：さば先生
中学受験の塾講師として18年。今までの教えてきた生徒数は3000名以上。教室長としても複数教場を運営後、算数の教科責任者として若手の育成や教材作成を手掛ける。現在は東京の有名塾の管理職かつ現役で教壇に立ち続けています！
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【中学受験算数】立方体の切断｜切断の超大切な３つのルール
切断のルールは3つしかありません。
さば先生3つだけなのでまずはこれらをしっかり覚えましょう！
- 同一平面上の点を結ぶ
- 向かい合う面にできる線は平行
- ①、②で対応できなければ線を延長する
ではまずはこの3つを説明します。
① 同一平面上の点を結ぶ
同一平面上の点は結ぶ！
立方体だと「前、後、左、右、上、下」の６面がありますね。
簡単に言うと同じ面の上に乗っていれば直線で結ぶことができます。
AとCは両方とも立方体の上の面にありますね。
だから結ぶことができます！
生徒A君それだとBとEとかFとHとかDとGとかも結んでいいってこと？
さば先生そういうことだね！
生徒A君おー－！！
なんかイケるかも！
② 向かい合う面にできる線は平行
向かい合う面にできる線は平行になる。
下の図を見て違和感を感じるでしょうか？
ACの直線と下の面にできる線が曲がっていますよね！
これは切断面としてはありえません！
生徒A君確かになんか気持ち悪いかも…
さば先生入り口と出口の線が曲がることはないんだよね…どうしてもわからない人は豆腐を切ってみましょう！(笑)
上のように切るのであればこれが正しい形になります。
上の面と下の面にできる線が平行になっています。
③ ①と②で対応できなければ線を延長
③は「とっておきの最終奥義」になります。
生徒A君さ…最終奥義！？
これについては切断面が五角形や六角形になったときに使う技です。
詳しくは切断面が五角形や六角形になるときを見てください！
生徒A君早く教えてよ～～！
【中学受験算数】立方体の切断｜切断面が三角形
立方体の切断の中でも一番簡単に切り口が書けるものです。
切り口が三角形になるときは
ルール①しか使いません！
実は切断は難しいと言われますがほぼ全ての切断面は「三角形」になります。
生徒A君え、でも切断面は五角形や六角形とかにもなるんだよね？？
さば先生うん、そうなんだけど…
でも五角形も六角形も実は三角形の一部なんだよ。
詳しくは切断面が五角形のところで説明するよ！
では実際に切ってみましょう！
切断面が正三角形になる
問題：３点A,C,Fを通るように切断しなさい。
A,Cは同一平面上にあるので直線で結ぶことができますね！
同様にAとF、CとFも同一平面上にあるので結ぶことができます。
直線AC,AF,CFはすべて正方形の対角線になっているので
切断面は正三角形になります。
切断面が二等辺三角形になる
問題：AとBの中点,BとCの中点,Fを通るように切断しなさい。
これも使うのは①のルールだけですね！
生徒A君簡単じゃないか…
【特別】中学入試問題に超頻出の三角すい
中学入試問題に超頻出の三角すいがあります。
これが今やった切断面が二等辺三角形になるものです。
なぜこの三角すいが頻出かと言うと表面積を簡単に出すことができるからです。
この三角すいを展開図に表すとなんと正方形になるのです！
例えば１辺が6㎝の立方体であれば
この三角錐の表面積は6×6＝36㎠となります。
※小さい三角形の辺を底辺としたときに高さが２倍になっていないと成立しませんので要注意です！
さば先生これは本当によく出てくるのでしっかり覚えておきましょうね！
【中学受験算数】立方体の切断｜切断面が四角形
切断面が四角形になるときです。
四角形になる切断面を書くためには①と②のルールを使う必要があります。
生徒A君お！②の出番か！
四角形の偉い順番
切断面の名前を答えるときはできるだけ正確な名前で答えなければいけません。
そのためにはそれぞれの四角形の性質を理解しておかなければなりません。
左にいくほど性質が多いので答えるときはできるだけ正確な名前で答えましょう！例えば切断面がひし形なのに平行四辺形と答えると不正解になってしまいます。
切断面が長方形になる
問題：3点A,E,Cを通るように切断しなさい。
AとE、AとCは同一平面上なので結ぶことができます。
注意点！
CとEは同一平面上ではないので結ぶことができません。
そこで②のルールが登場します！
②は向かい合う面にできる線は平行になるというルールです。
上の面に直線ACがありますね。
これと平行になるように下の面にEから線を引けばよいのです。
さば先生もちろんAEと平行になるようにCからGに直線を引いても良いですよ！
そして、最後にCとGを結んで完成です。
切断面が長方形になるときの手順をまとめます。
- AとE、AとCは同一平面上なので結ぶ
(CとEは結べない) - 直線ACが上の面にある
- 下の面に直線ACと平行になるようにEから線を引く
- 最後にCとGは同一平面なので結ぶ
切断面がひし形になる
問題：3点D,AとEの中点,Fを通るように切断しなさい。
まずはルール①！
同一平面上の点を結びましょう。
次はルール②！
向かい合う面にできる線は平行になる。
例えば面AEFBと面DHGCは向かい合っている面なので平行な線が引けます。
生徒A君でも平行って言っても何となく平行に引いていいのかな？
さば先生立体図形で迷った時は平面に直しましょう！
これは切断に限らず、立体は平面で考える！は基本です。
面AEFBを前から見てみます。
ここに裏の面のDから平行に引くわけです。
このDからの線を立体に書き込み、最後に同一平面上の点を結んで完成です。
ひし形と平行四辺形はどうやって見分けるの？
これは辺の長さに注目します。
全ての辺の長さが等しければ「ひし形」
そうでなければ「平行四辺形」になります。
切断面が平行四辺形になる
問題：3点C,D,AとEの中点を通るように切断しなさい。
これは先ほどのひし形と同じ手順です。
復習がてら進めていきましょう！
さば先生ルール①
まずは同一平面上の点を結びましょう！
さば先生ルール②！
向かい合う面にできる線は平行になる
さば先生完成です！
生徒A君なんか慣れてきたぞ！
分かると楽しいね！
切断面が等脚台形になる
問題：3点E,G,AとBの中点を通るように切断しなさい。
さば先生これも流れは今までと同じだよ！
まずはルール①！
同一平面上の点を結ぶ。
ルール②！
向かい合う面にできる線は平行。
さば先生微妙な時は平面に直す！でしたね。
あとは同一平面の点を結んで完成です！
ちなみにこの手前にできた立体を「三角すい台」といいます。
これは三角すいから小さい三角すいを取り除いた形です。
さば先生入試には頻出です！
体積と切断面の面積を出せるようにしておきましょうね！
【中学受験算数】立方体の切断｜切断面が五角形
さば先生いよいよ最終兵器の出番です…
生徒A君きたか！
ルール③の登場ですね！
切断面が五角形になる
問題：3点D,EとFの中点,FとGの中点を通るように切断しなさい。
まずはルール①！
生徒A君これしか引けないじゃん…
しかもルール②の平行ルールも使えない。
さば先生そうなんだよね…
ここで「最終奥義」
線を延長してみましょう！
生徒A君ん…！？
同一平面上ということは…！
さば先生ルール①で結ぶことができるんだね！
あとは両端をちゃんと結ぶのを忘れないようにしましょう！
さば先生切断の線は必ず立方体の周りを１周しますよ！
これで完成です。
【番外編】切断面はほぼ三角形になるとは？？
さてはじめに切断面はほぼ三角形になると言いましたが、今やった五角形の切断面をよく見てください。
切断面は三角形の一部になっていますね。
ひし形や等脚台形のときも三角形の一部になっています。
生徒A君本当だ！
ほとんど切断面は三角形になるんだね！
さば先生このイメージができると体積や表面積が出しやすくなるよ！
【中学受験算数】立方体の切断｜切断面が六角形
切断面が正六角形になる
問題：3点AとDの中点,EとFの中点,FとGの中点を通るように切断しなさい。
さば先生さあ最後の総復習ですよ！
これができれば切断マスターですよ！
まずはルール①の同一平面上の点を結びます。
次はルール②の向かい合う面には平行な線を書く。
ADの中点から下の面の線と平行に引きます。
最後にルール③です。線を延長して同一平面上の点を結びます。
さば先生最後に立方体の周りを１周するように結んで完成です！
生徒A君いろいろ切断したけど３つのルールで全部切れるんだね！
ちなみに正六角形も三角形の一部ですね！
切断面が正六角形になるときの体積を聞かれたら？
理っぽ隊の切断で、切断面が正六角形になっているときは、必ず立方体の体積の半分になります。
覚えておくと便利ですね！
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【中学受験算数】立方体の切断を極めよう！｜まとめ
今回は立方体の切断についてまとめてみました。
苦手としている子は多いですがルール3つで全ての切断面の作図ができます。
- 同一平面上の点を結ぶ
- 向かい合う面にできる線は平行
- ①、②で対応できなければ線を延長する(角だし)
またいくつか小ネタとしてこの3つも知っておきましょう！
- 立体は困ったら平面で考える
- 切断面は立方体の周りを1周する
- 切断面の形はほぼ三角形になる
切断は慣れてくると楽しいですのでぜひチャレンジしてみてくださいね！
それでは最後まで読んでいただきありがとうございました。
コメント
コメント一覧 （1件）
やくにたったぜありがとうございます！がんばります